آخرین خبرها
خانه / آزمون های t

آزمون های t

آزمون های t (تی)

گاست[۱] توزیعی یا در حقیقت خانواده ای از توزیع ها را که با استفاده از آنها در شرایطی که محقق اطلاعات جامعه را در دست ندارد و می تواند با نمونه برگرفته از جامعه فرضیه هایی را آزمون کند، توصیف کرده است. این توزیع ها به توزیع t یا منحنی های t و یا توزیع t استودنت[۲] معروف هستند.

سه نوع آزمون t وجود دارد:

  • آزمون t تک نمونه ای
  • آزمون t مستقل
  • آزمون t جفت شده که گاهی نوع مکرر، وابسته یا همبسته نیز خوانده می شود. در این فصل هر سه آزمون t به طور مفصل توضیح داده می شود.

آزمون t تک نمونه ای

آزمون t تک نمونه ای که ساده ترین نوع آزمون های t است جهت تعیین این که آیا میانگین مشاهده شده در نمونه که به صورت تصادفی از جامعه انتخاب شده است، مقداری برابر با میانگین مفروض جامعه دارد یا خیر، به کار می رود.

برای مثال میانگین افسردگی دانشجویان دانشگاه با توجه به مقیاس GHQ[3] (گلدبرگ، ۱۹۷۳)، برابر ۷ محاسبه شده است. حال یکی از روان شناسان دانشگاه معتقد است دانشجویانی که ورزش می کنند افسردگی کمتری دارند. بر همین اساس ۱۰۰ نفر از دانشجویان ورزشکار را به صورت تصادفی انتخاب کرده و میزان افسردگی آنان را اندازه گیری می کند، میانگین افسردگی این دانشجویان برابر ۶ به دست می آید. آیا این تفاوت ۱ نمره ای بین میانگین افسردگی دانشجویان ورزشکار و میانگین افسردگی جامعه دانشجویی یک تفاوت واقعی است یا اینکه بر اساس ادعای فرض صفر، حاصل خطای نمونه گیری است و تفاوت واقعی بین نمونه و جامعه وجود ندارد. از آنجایی که این پژوهشگر انحراف استاندارد جامعه را نمی داند و می خواهد جهت بررسی معنی داری این تفاوت از یک آزمون آماری استفاده کند، آزمون t تک نمو نه ای را به کار می برد و انحراف استاندارد نمونه را به عنوان برآوردی از انحراف استاندارد جامعه در نظر می گیرد.

قبل از اینکه چگونگی محاسبه t تک نمونه ای، توضیح داده شود لازم است با تفاوت این آزمون با آزمون Z تک نمونه ای خانواده توزیع t، شکل توزیع های t و درجات آزادی آزمون t آشنا شویم.

تفاوت آزمون t با آزمون Z

 آزمون آماری Z بیانگر تفاوت یک میانگین نمونه با میانگین جامعه بر حسب واحد انحراف استاندارد است. گفته شد که محاسبه Z مستلزم معلوم بودن 8یعنی انحراف استاندارد جامعه است زیرا برای محاسبه آن، انحراف استاندارد توزیع میانگین ها یعنی ضرورت دارد. آزمون t نیز همین عمل مقایسه میانگین نمونه با میانگین جامعه را انجام می دهد اما برای موقعیت هایی که اطلاع دقیقی از انحراف استاندارد جامعه 8 در دست نباشد. در این آزمون به جای انحراف استاندارد جامعه 8 از برآورد آن یعنی انحراف استاندارد نمونه (S) استفاده می شود. درست همان گونه که میانگین نمونه9به عنوان برآورد میانگین جامعه11قابل محاسبه است. می توان انحراف استاندارد نمونه را نیز برآوردی برای انحراف استاندارد جامعه دانست. بدین ترتیب در آزمون t تک نمونه ای (S) را که برآوردی از انحراف استاندارد جامعه از روی نمونه است به جای مقدار واقعی 8 انحراف استاندارد جامعه قرار داده و آزمون فرض را انجام می دهیم. بنابراین آزمون t تک نمونه ای برای میانگین های جامعه با آزمون Z تک نمونه ای مشابه است. زیرا در هر دو مورد فرضیه ای را درباره میانگین جامعه می آزماییم. از لحاظ تفسیر نتیجه به دست آمده از این دو آزمون Z و t می توان گفت که همان گونه که نسبت Z بیانگر تفاوت میانگین نمونه از میانگین جامعه یا میانگین فرضی توزیع میانگین های نمونه ها بر حسب اندازه واحد انحراف استاندارد جامعه است. آزمون t نیز برآوردی برای تفاوت میانگین نمونه است. برای فهم بیشتر تفاوت و تشابه بین این دو آزمون در پژوهش و آزمون فرضیه به مثال زیر توجه کنید:

مشاور یکی از دبیرستان های شهر تهران معتقد است که دانش آموزان این دبیرستان از بهره هوشی بالا و سلامت روانی خوبی برخوردار هستند لذا این مشاور که در امر پژوهش نیز تخصص دارد ۱۰ دانش آموز این دبیرستان را به طور تصادفی انتخاب کرده و با استفاده از مقیاس هوش وکسلر و مقیاس سلامت روانی (GHQ)، بهره هوشی و سلامت روانی این دانش آموزان را اندازه گیری می کند. میانگین بهره هوشی و سلامت روانی آنها به ترتیب برابر ۱۲۰ و ۲۰ به دست می آید. با توجه به اینکه میانگین بهره هوشی برای کل جامعه دانش آموزان دبیرستانی ۱۰۰ و انحراف معیار آن  ۱۰ است، این پژوهشگر برای آزمون فرض تفاوت میانگین بهره هوشی بین نمونه انتخاب شده با کل جامعه از آزمون Z تک نمونه ای استفاده می کند ولی در رابطه با سلامت روانی به دلیل اینکه پژوهشگر از میانگین و انحراف استاندارد سلامت روانی جامعه دانش آموزان دبیرستانی بی اطلاع است امکان استفاده از آزمون Z تک نمونه ای برای وی میسر نیست. او تنها می داند که نقطه برش یا میانگین مورد انتظار مقیاس سلامت روانی را که با GHQ نشان می دهند برابر ۲۸ است. لذا در اینجا آزمون t تک نمونه ای، آزمون مناسبی برای مقایسه سلامت روانی نمونه با میانگین مورد انتظار خواهد بود زیرا در این آزمون با برآورد انحراف استاندارد جامعه از روی انحراف استاندارد نمونه مشکل مربوط به محدود بودن اطلاعات خود از جامعه را حل می کند.

 

خانواده توزیع t و درجه آزادی

توزیع های t شبیه توزیع طبیعی زنگوله ای شکل و متقارن هستند اما برخلاف توزیع طبیعی از کشیدگی های مختلف برخوردار هستند. هر چقدر حجم نمونه بزرگ تر باشد از کشیدگی توزیع t کاسته می شود و در نمونه هایی با حجم بزرگ تر ( ۱۲۰< n) شکل توزیع t تقریبا با توزیع طبیعی یکسان می شود. میانگین توزیع های t همانند توزیع طبیعی Z برابر صفر است اما انحراف استاندارد آنها بیشتر از ۱ است هر چقدر حجم نمونه بیشتر شود، انحراف استاندارد توزیع t به عدد ۱ نزدیک تر می شود. انحراف استاندارد توزع t تقریبا از رابطه زیر محاسبه می شود.

1

در توزیع t به علت این که انحراف استاندارد جامعه  نامعلوم است، انحراف استاندارد برآورد شده نمونه (S) به کار می رود و این فرآیند برآورد از روی S منجر به تغییر کشیدگی توزیع t می شود به طوری که در آزمون Z ، توزیع نرمال استاندارد به کار می رود ولی در آزمون t، یکی از توزیع های خانواده t که تعداد آنها بر حسب حجم نمونه متعدد است استفاده می شود. حال در آزمون t بخصوص برای مقایسه میانگین نمونه با میانگین جامعه از کدامیک از توزیع های خانواده t استفاده می کنیم؟

در جواب باید گفت که در استفاده از آزمون t به درجات آزادی توجه می کنیم. در آزمون t تک نمونه ای درجات آزادی عبارت است از حجم نمونه منهای ۱، یعنی df = n – ۱ . به عبارت دیگر اگر حجم نمونه ۱۰ نفر باشد درجه آزادی ۹ است. بنابراین از بین خانواده توزیع های t ما از توزیع استفاده خواهیم کرد که با ۹ درجه آزادی تنظیم شده است.

چنانچه اندازه نمونه افزایش پیدا کند درجه آزادی به سمت بی نهایت میل کند، شکل توزیع t به شکل Z توزیع نرمال نزدیک تر می شود و در بی نهایت هر دو توزیع t و نرمال یکی می شوند.

 شکل توزیع t

شکل توزیع های t با شکل توزیع نرمال استاندارد از این لحاظ که هر دو توزیع تک نمایی و متقارن هستند شباهت دارد، اما تفاوت آنها در این است که توزیع t دارای کشیدگی بیشتری است و سطح واقع در زیر بخش های انتهایی اندکی بیشتر از توزیع نرمال استاندارد است. در شکل (۴-۱) دو توزیع t با درجات آزادی مختلف ۱۰ و ۲۵ را همراه با توزیع نرمال استاندارد نشان داده ایم.

شکل۴-۱:یک توزیع نرمال و دو توزیع t با درجه آزادی ۱۰ و ۲۵ نشان داده می شود.

2

به ادامه مطلب توجه بفرمایید

همان طوری که ملاحظه می کنید چون سطح زیر توزیع ها در دنباله ها نسبت به توزیع نرمال بیشتر است. بنابراین برای جدا ساختن ۵/۲ درصد سطح بالای توزیع Z در توزیع نرمال استاندارد نیاز به نمره t بالاتری است. مثلا در توزیع نرمال ۵/۲ درصد همه مشاهده ها بالاتر از Z = +1/96 قرار دارد در حالی که در توزیع t باdf = 10 درجه آزادی ۵/۲ درصد همه مشاهده ها بالاتر از t = +2/23 قرار می گیرد. به عبارت دیگر برای رد فرض صفر با استفاده از t در مقایسه با Z احتیاج به نسبت t بزرگ تری است ولی هر چقدر که تعداد درجات آزادی همراه با توزیع t افزایش یابد، توزیع مذکور شباهت بیشتری به توزیع نرمال پیدا می کند. برای مثال چنانکه در شکل ۴-۱ ملاحظه کردید توزیع t با df = 25 بیش از توزیع t با df = 10 به توزیع نرمال شباهت دارد و نمره ۵/۹۷ درصدی در توزیع t با df = 25 برابر با = +۲/۰۶ است که به مقدار متناظر آن در توزیع نرمال استاندارد Z = +1/96 نزدیک است.

بنابراین همان طور که قبلا گفتیم اگر درجات آزادی همراه با توزیع t باز هم افزایش یابد توزیع مذکور به توزیع نرمال استاندارد نزدیک تر می شود و در حالت df = ، شکل دو توزیع بر هم منطبق می شوند زیرا اگر نمونه بی نهایت باشد، برآورد انحراف جامعه 8از روی انحراف معیار نمونه (S) کامل و بنابراین مقدار برآورده شده از انحراف معیار جامعه 8 دقیق خواهد بود و به همین دلیل است که در این موقعیت آزمون t به آزمون Z تبدیل می شود.

چگونگی محاسبه آزمون تک نمونه ای t

برای محاسبه آزمون تک نمونه ای t همانند محاسبه سایر آزمون ها از جمله آنچه برای آزمون Z گفته شد باید مراحل زیر طی شود:

  • گام اول فرضی که قرار است آزمایش شود و فرض مخالف آن بیان شود در آزمون تک نمونه ای فرض صفر بیان می کند که میانگین نمونه مساوی است با میانگین جامعه ای که نمونه از آن انتخاب شده است. فرض به این شکل نوشته می شود:12

فرض خلاف مدعی وجود تفاوت بین میانگین محاسبه شده نمونه با میانگین جامعه مربوط به آن است. این فرض می تواند به صورت بدون جهت و یا جهت دار بیان شود. فرض خلاف بدون جهت ادعا می کند که میانگین نمونه با میانگین جامعه مورد نظر تفاوت دارد ولی جهت آن تفاوت را بیان نمی کند ولی در فرض خلاف جهت دار، جهت تفاوت بین میانگین نمونه و میانگین جامعه بیان می شود. مثلا ( یعنی میانگین جامعه از میانگین نمونه بیشتر است ) یا ( یعنی میانگین جامعه از میانگین نمونه کوچک تر است ). برای فرض های بدون جهت، آزمون دو دامنه و برای فرض های جهت دار آزمون یک دامنه مورد استفاده قرار می گیرد.

برای توضیح فرض صفر و فرض خلاف در آزمون t تک نمونه ای چند مثال ذکر می کنیم که در هر یک از آنها میانگین فرضی جامعه به عنوان فرض صفر تعیین می شود. قبل از ذکر مثال ها لازم است بدانیم که میانگین فرضی جامعه معمولا بر اساس پژوهش های قبلی تعیین می شود. گاهی نیز نقطه وسط متغییر و یا میانگین مورد انتظار مقیاس مورد استفاده برای میانگین فرضی جامعه در نظر گرفته می شود.

در مثال های زیر جهت تعیین فرض صفر با استفاده از میانگین های فرضی جامعه هر دو حالت را ملاحظه خواهید کرد.

مثال ۱٫   نتایج پژوهش ها نشان داده است که میانگین نمره های استعداد کلامی برای جامعه داوطلب ورود به دانشگاه ۵۰۰ است، سوال مورد پرسش این است که آیا نمره دانشجویان سال اول دانشگاه به طور متوسط از جامعه دانش آموزان داوطلب ورود به دانشگاه بیشتر است؟ برای پاسخ به این سوال که آیا نمونه مورد بررسی از جامعه ای با میانگین ۵۰۰ انتخاب شده یا از جامعه ای دیگر، از آزمون t استفاده می شود. فرض صفر و فرض مقابل این گونه نوشته می شوند:

13

فرض مقابل یک فرض جهت دار و آزمون به کار رفته یک دامنه است.

مثال ۲٫ پژوهشگری می خواهد میزان سلامت روانی پرستاران شیفت شب بیمارستان ها را بررسی کند به همین منظور از مقیاس سلامت روانی GHQ ( گلدبرگ، ۱۹۷۳ ) استفاده می کند. او از ۱۶ پرستار شیفت شب بیمارست

۱۲ نظر

  1. عالی بود واقعا مرسیییییی

  2. با سلام
    فوق العاده عالی بود فقط اینکه راجع به آزمون تی وابسته یکم بیشتر توضیح می دهید.با تشکر از شما

  3. سلام و وقت بخیر.
    ممنون از مطالب مفیدتون.
    سوال بنده اینه که در آزمون تی مستقل برای تعیین تفاوت یک متغیر در دو گروه زن و مرد، علت منفی شدن تی چی میتونه باشه؟
    ممنون میشم پاسخ بدید

    • با سلام و احترام
      اگه به فرمول مقایسه دو گروه مستقل نگاه کنید متوجه خواهید شد که تفاوت میانگین دو گروه در صورت آماره قرار داره که حاصل این تفاضل بنا به قرار دادن عدد بزرگتر و کوچکتر، گاهی مثبت و گاهی منفی میشه. مهم اینه که فرض صفر شما چگونه نوشته شده باشه. یک طرفه یا دو طرفه.

  4. خیلی عالی و واضح بود. مرسی

  5. سلام.خسته نباشید.
    سوال بنده اینه که در آزمون T تک نمونه ای مقدار عددی مورد آزمون که بر اساس اون میانگین تحلیل میشه رو چجوری باید حساب کنیم؟؟
    ممنون هستم اگه زودتر جواب بدید.

    • سلام
      مقدار عددی در آزمون تک نمونه ای محاسبه شدنی نمی باشد. بلکه بر اساس پیشینه تحقیق و فرضیه مطرح برای محقق تعیین میشه.
      با درود فراوان

  6. با سلام و احترام
    آیا ملاک زیر برای محاسبه میانگین نظری در آزمون تی تک متغیره صحیح است؟
    مجموع حد پایین سوالات را به علاوه مجموع حد بالای سوالات کرده سپس تقسیم بر ۲ می کنیم
    تشکر فراوان

    • باید از میانگین تجربی که برآورد میانگین جامعه است استفاده کنید. مجموع تقسیم بر تعداد.

  7. با سلام
    واقعاااا عالی و جامع بود …ممنون

  8. سلام و عرض ادب از کجا بدونیم aمساوی یک درصد یا پنج درصده

    • با سلام و احترام
      سطح معنی داری مقداری است که میزان خطای مورد قبول محقق را به نوعی نشان می دهد. معمولا در تحقیقات دانشگاهی این مقدار را پنج درصد میگیرند ولی در پژوهشهای کاربردی بسته به نوع کاربرد نتایج و اهمیت و حساسیت این میزان تغییر میکند.