تابع تولید کاپ داگلاس

تابع تولید کاپ داگلاس
بائو هنگ

۲۰۰۸ نوامبر ۲۰

  1. معرفی

1

شکل ۱: کاپ-داگلاس دو ورودی

تابع تولید

در علم اقتصاد، فرم تابعی کاپ-داگلاس تولید توابع به طور گسترده ای استفاده می شود که به نشان دادن رابطه یک خروجی به ورودی می باشد. این تابع توسط کنوت و یکسل پیشنهاد شد (۱۸۵۱ – ۱۹۲۶)، و توسط چارلز کاب و پل داگلاس در سال ۱۹۲۸ در آزمون شواهد آماری استفاده شده است.

مطالعه ای در سال ۱۹۲۸ توسط چارلز کاب و پل داگلاس منتشر شد که در آن مدل رشد اقتصاد آمریکا در طول دوره ۱۸۹۹ – ۱۹۲۲٫ در نظر گرفته شد. آنها یافتند که یک نمایش ساده شده از اقتصاد وجود دارد که در آن خروجی توسط مقدار کار انجام شده و میزان سرمایه گذاری مشخص می شود.

این در حالی است که بسیاری از عوامل دیگر بر عملکرد اقتصادی مؤثر هستند، مدل آنها بسیار دقیق ثابت می شود. تابع مورد استفاده آنها برای تولید مدل نهایی به فرم می باشد:

1

جایی که:

  • P = کل تولید (ارزش پولی تمام محصولات تولید شده در یک سال)
  • L = نیروی کار (تعداد کل نفر ساعت در یک سال کار کرده)
  • K = ورودی سرمایه (ارزش پولی کلیه ماشین آلات، تجهیزات و ساختمان)
  • B = بهره وری کل عوامل
  • 3به ترتیب،کشش خروجی نیروی کار و سرمایه. این مقادیر ثابت و مجهول هستند.

با فرض ثابت بودن شرایط افزایش نیروی کار و سرمایه به نسبت مقادیر کشش خروجی میزان تولید را تغییر می دهد. به عنوان مثال اگر 2باشد، افزایش یک درصد نیروی کار موجب افزایش پانزده صدم درصد در خروجی می شود.

حال چنانچه داشته باشیم:

4

این است که اگر L و K در هر بار افزایش۲۰ ٪، درصورت ثبات بازده ثابت نسبت به مقیاس، P را ۲۰٪ افزایش می دهد. بازده به مقیاس اشاره به اموال فنی تولید که تغییرات بررسی در خروجی پس از آن به یک تغییر متناسب در تمام ورودی (که در آن همه در یک ضریب ثابت، ورودی را افزایش می دهند). اگر خروجی افزایش می یابد که تغییر متناسب همان پس از آن وجود بازده ثابت نسبت به مقیاس (CRT) هست، گاهی اوقات به سادگی بازده به مقیاس نامیده می شود. اگر خروجی افزایش یابد و کمتر از آن تغییر متناسب هستند، بازده نزولی وجود دارد به مقیاس (DRS). اگر خروجی را افزایش می دهد بیش از این نسبت، وجود دارد در حال افزایش بازده به مقیاس (IRS) با این حال، اگر

4

بازده به مقیاس در حال کاهش است، و اگر

4

بازده به مقیاس در حال افزایش است. با فرض رقابت کامل، 3 کار و سهم سرمایه از خروجی می تواند نشان داده شود.

۲- بررسی جزئیات

 

در این قسمت فرمول تولید و بحث در مورد چگونگی مشتقات جزئی مورد استفاده در مدل کاب داگلاس استفاده می شود.

۱۲ فرضیات ساخته شده

اگر تابع تولید توسط P نشان داده به صورت 4باشد پس 4مشتق جزئی آن هست، که میزان سرعت تغییرات تولید با توجه به تغییرات میزان کار را نشان می دهد. اقتصاد دانان به این میزان تولید حاشیه ای با توجه به کار یا بهره وری نهایی کار می گویند. به همین ترتیب، مشتق جزیی 4 نرخ تغییر تولید با توجه به سرمایه است و به نام بهره وری نهایی سرمایه شناخته می شود. در این شرایط، فرضیات ساخته شده توسط کاپ داگلاس را می توان به شرح زیر بیان کرد:

  1. اگر هم کار یا سرمایه ناپدید شود ، پس از آن خواهد شد تولید.
  2. بهره وری نهایی کار متناسب با مقدار تولید در هر واحد از کار است.
  3. بهره وری نهایی سرمایه متناسب با مقدار تولید در هر واحد از سرمایه است

۲-۲ حل

از آنجا که تولید در واحد کار است4 ، فرض ۲ می گوید که

Untitled
برای برخی از ثابت. اگر ما ثابت ( k=k0) نگه دارید، سپس این معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی

یک معادله دیفرانسیل معمولی می شود:

4

این معادله دیفرانسیل جدا می توان دوباره تنظیم شرایط و یکپارچه سازی هر دو حل

4

و در نهایت،

4

که در آن Untitledثابت ادغام شده است و ما آن را ارسال عنوان یک تابع از K0 چرا که می تواند بر ارزش K0 بستگی دارد. به طور مشابه، فرض ۳ می گوید که

Untitled

با ثابت نگه داشتن  5 این معادله دیفرانسیل می تواند حل شود به:

5

و در نهایت، ترکیب معادلات (۱) و (۲):

5

که در آن B ثابت است و مستقل از هر دو L و K.

فرض ۱ نشان می دهد که5

اطلاع از معادله (۳) که اگر کار و سرمایه هر دو توسط یک عامل متر افزایش یافته است، پس از آن

5

اگر5 آنگاه Untitled به این معنی که تولید نیز یک عامل از متر افزایش می یابد.