مدل ARCH

مدل ARCH روشی برای بررسی ساختار واریانس u مقادیر تصادفی مدل است که به صورت واریانس شرطی خودرگرسیونی تعریف می کنند. به خاطر داریم که در یک مدل رگرسیون، جمله خطا دارای ویژگی نرمال با میانگین صفر و واریانس سیگما به توان دو می باشد. فرض ثابت بودن واریانس u تضمین می کند که برآورد کننده های OLS نااریب و کارا باشند.
اما یکی از ویژگیهای مهم برخی از سری های زمانی اقتصادی و مالی این است که دارای تغییرپذیری خوشه ای هستند. یعنی تغییرات بزرگ منجر به تغییرات بزرگ و تغییرات کوچک منجر به تغییرات کوچک می شود. به عبارت دیگر سطح جاری تغییرپذیری، رابطه مثبت با مقادیر گذشته آن دارد. این پدیده در نمودار زیر برای نرخ رشد هفتگی شاخص قیمت سهام در بورس تهران نشان داده شده است.
مدل ARCH یکی از روش های مناسب برای مدل سازی تغییرپذیری است. برای توصیف آن بحث را با مفهوم واریانس شرطی u شروع میکنیم. تمایز بین واریانس شرطی و غیر شرطی دقیقا مشابه با میانگین شرطی و غیر شرطی است. واریانس شرطی u که با سیگما به توان دو نشان داده می شود، عبارت است از:

معادله فوق بیان می کند که واریانس شرطی u برابر با امید ریاضی شرطی u_t^2 است. لذا σ_t^2 برای زمان t به شرط معلوم بودن مقدار خطاهای گذشته، محاسبه می شود.
در مدل ARCH، -خودهمبستگی در تغییرپذیری- توسط واریانس شرطی جمله خطا بیان می شود که در ساده ترین حالت، بستگی به مجذور خطای دوره قبل دارد:


مدل فوق را ARCH(1) می گویند، زیرا واریانس شرطی فقط بستگی به خطای دوره قبل دارد. توجه شود که معادله بالا فقط بخشی از کل مدل است، زیرا درباره میانگین شرطی Y که همان معادله اصلی است، چیزی بیان نمی کند. در مدل ARCH، معادله میانگین شرطی را به هر شکلی می توان تعریف نمود. به عنوان مثال، مدل زیر را در نظر بگیرید:

معادله اول همان رگرسیون مرسوم است که میانگین شرطی را به صورت

تعریف میکند و معادله دوم نیز معادله ای برای توصیف واریانس شرطی Y (یاu) است که تا کنون آن را ثابت فرض میکردیم. مدل دوم را می توان گسترش داد و در حالت کلی آن را به صورت ARCH(q) نشان داد:

توجه شود که چون σ_t^2 واریانس شرطی است، مقدار آن در هر زمان نمی تواند منفی باشد و لذا لازم است تمام ضرایب معادله دوم فوق غیرمنفی باشند.
آزمون ARCH
آزمون ARCH راجع به ثابت یا متغیر بودن واریانس جمله خطا است. در واقع قبل از هر چیزی بایستی راجع به وضعیت واریانس جمله خطا، چنین آزمونی صورت گیرد. برای بررسی ثابت بودن واریانس و یا به عبارت دیگر برای آزمون ARCH مراحل زیر را انجام می دهیم:
۱-معادله میانگین شرطی Y را که به صورت زیر داده شده است با روش OLS برآورده کرده و باقیمانده های آن را حساب می کنیم:


۲-خطاها را مجذور کرده و رگرسیون زیر را برآورد کرده و R^2 را حساب می کنیم:

۳-به عنوان ملاک آزمون از ضرایب لاگرانژ (LM) استفاده می کنیم که برابر با nR^2 است. nR^2 توزیع کی دو با درجه آزادی q دارد. توجه شود که در اینجا دو مدل مقید و غیر مقید داریم که مدل مقید به صورتو مدل غیرمقید به صورت مدل فوق می باشد. قیدها نیز شاملهستند. برای آزمون این محدودیت ها می توان از F یا LM استفاده نمود.

۴-فرضیه زیر را آزمون میکنیم که معادل با عدم وجود ARCH یعنی ثابت بودن واریانس می باشد.

اگر LM=nR^2 و یا F بزرگتر از مقدار بحرانی باشد، آنگاه فرضیه صفر رد می شود که بیانگر وجود ARCH می باشد.